La Tetraktys Pitagórica

"Lo juro por aquel que ha transmitido a nuestra alma la tetraktys en que se encuentran la fuente y la raíz de la eterna Naturaleza".  Versos Dorados

Exhumar y restituir la antigua aritmética pitagórica es una tarea difícil vista la escasez de las informaciones que nos han llegado, y cuya mayor parte no inspiran confianza. Haría falta en cada momento citar sus fuentes y discutir su valor, lo que entorpecería y alargaría inútilmente nuestra exposición sin por ello hacerla más inteligible. Renunciaremos pues a todo aparato filológico y nos atendremos a aquello que es menos controvertido. Pero no dejaremos de señalar todo lo que se refiera a nuestra opinión personal o a los resultados de nuestras investigaciones.

La bibliografía pitagórica antigua y moderna es muy extensa; renunciamos a enumerar las centenas de libros, estudios, artículos y pasajes que la constituyen. Para ciertos críticos, historiadores y filósofos, Pitágoras no habría sido más que un moralista y no se habría ocupado nunca de las matemáticas; para ciertos hipercríticos, no habría existido nunca. Personalmente tenemos por cierta su existencia y, aceptando el testimonio del filósofo Empédocles, su casi contemporáneo, pensamos que sus conocimientos en todos los dominios de la ciencia eran muy vastos. Pitágoras vivió en el siglo VII antes de nuestra era; fundó en Calabria una escuela y una Orden que Aristóteles llamaba escuela itálica y enseñó entre otras la aritmética y la geometría. Según Proclo, jefe de la escuela de Atenas en el siglo V de nuestra era, Pitágoras fue el primero que elevó la geometría a la dignidad de ciencia liberal, y según Tannery, "la geometría salió de la cabeza de Pitágoras como Minerva del cerebro de Júpiter".

Pero ninguno de sus escritos o de aquellos que le fueron atribuidos nos ha llegado, y es muy posible que Pitágoras no haya escrito jamás. Incluso si esto no hubiera sido así, además de que su extrema antigüedad habría podido impedir la transmisión, no hay que olvidar el secreto que los pitagóricos hacían pesar sobre su enseñanza o al menos sobre una parte. Un filólogo belga, Armand Delatte, en su primera obra: Etudes sur la littérature pythagoricien (París, 1915), ha hecho una sabia crítica de las fuentes de la literatura pitagórica; ha demostrado, entre otras, que los famosos "Versos Dorados", aunque debidos a la recopilación de un neo-pitagórico del siglo II o IV de nuestra era, permiten remontarse casi al comienzo de la escuela pitagórica, pues transmiten un material arcaico. La obra de Delatte será nuestra principal fuente.

Se posee otros testimonios antiguos en los escritos de Filolao, de Platón, de Aristóteles y de Timeo de Tauromenio. Filolao fue, con Arquitas de Tarento, uno de los más eminentes pitagóricos y uno de los más cercanos, en el tiempo, a Pitágoras. Timeo fue un historiador del pitagorismo, y el gran filósofo Platón experimentó tan fuertemente la influencia del pitagorismo que es posible considerarle como un pitagórico incluso aunque no perteneciera a esta escuela. Los biógrafos de Pitágoras son menos antiguos: Jámblico, Porfirio y Diógenes Laercio, neo-pitágoricos de los primeros siglos de nuestra era, y los matemáticos Teón de Esmirna y Nicómaco de Gerasa. Son los tratados matemáticos de estos dos últimos autores los que nos han transmitido la aritmética pitagórica. Boecio también ha contribuido a ello. Por último se deben numerosas informaciones a Plutarco.

Entre los modernos, además de Delatte, la obra un poco desfasada de Chaignet sobre Pythagore et la philosophie pythagoricienne (París, 2ª edición 1874) y el libro de Augusto Rostagni Il Verbo di Pitagora (Turín 1924), utilizaremos The Theoretic Aritmetic of the Pythagoreans (Londres 1816, 2ª edición Los Angeles 1934) del erudito helenista inglés Thomas Taylor que fue un neo-platónico y un neo-pitagórico. Entre los historiadores de la matemática utilizaremos Le scienze esatte nellêantica Grecia (Milán, 2ªedición 1914) de Gino Loria, así como A History of Greek Mathematics de T. Heath (1921).

Para la matemática moderna la unidad es el primer número de la serie natural de los números enteros, que se obtiene partiendo de la unidad y añadiendo sucesivamente otra unidad. No es lo mismo en la aritmética pitagórica. En efecto, la misma palabra mónada, designaba la unidad de la aritmética y la mónada, entendida metafísicamente diríamos hoy. El paso de la mónada universal a la dualidad no es tan simple como el paso del uno al dos por adición de dos unidades.

La aritmética, la pitagórica también, conlleva tres operaciones directas: la suma, la multiplicación y la elevación a la potencia, acompañadas de tres operaciones inversas. Ahora bien, el producto de la unidad por ella misma es también la unidad, y una potencia de la unidad es también la unidad. Así pues, sólo la suma permite el paso de la unidad a la dualidad. Lo que significa que para obtener dos, hay que admitir que pueda haber dos unidades, por consiguiente tener ya el concepto de dos, ya sea que la mónada pueda perder su carácter de unicidad, que pueda diferenciarse, ya sea que pueda haber una doble unidad o una multiplicidad de la unidad. Filosóficamente se plantea el problema del monismo y del dualismo, metafísicamente el del Ser y de su representación, biológicamente el problema de la célula y de su reproducción. Ahora bien, si se admite la unicidad intrínseca y esencial de la Unidad, hay que admitir que otra unidad no puede ser más que una apariencia, y su aparición una alteración de la unicidad debida a la distinción que la Mónada hace en sí misma. Igualmente la consciencia establece una distinción entre el sí y el no sí. Según el Vêdânta advaïta (advaïta = sin dualidad) esta distinción es una ilusión, la gran ilusión incluso, y no hay aquí otra cosa que hacer sino liberarse de ella. No obstante no es ilusorio que esta ilusión existe, aún cuando sea posible ir más allá de ella. Los pitagóricos decían que la díada estaba engendrada por la unidad que se alejaba o se separaba de ella misma, que se dividía en dos; e indicaban esta diferenciación o polarización mediante diferentes palabras: diéresis, tolma.

Para la matemática pitagórica, la unidad no era un número, sino el principio, el arcano de todos los números, digamos el principio y no el comienzo. Una vez admitida la existencia de otra unidad y de varias unidades, es de la unidad que van a derivar, por adición, el dos y todos los números. Los pitagóricos concebían los números como formados y constituidos o representados por puntos dispuestos de manera diferente. Definían el punto como la unidad posicionada, mientras que para Euclides el punto es aquello que no tiene partes. La unidad era representada por el punto (sêmeion = signo) o, cuando el sistema alfabético de la numeración escrita fue adoptado, por la letra A o a, que servía para designar a la unidad.

Admitida la posibilidad de la suma de la unidad, se obtiene el dos, representado por los dos puntos extremos de una recta, y se puede continuar añadiendo unidades y obtener, sucesivamente, todos los números representados por dos, tres, cuatro... puntos alineados. Se obtiene de esta manera el desarrollo lineal de los números. Aparte del dos, que no puede obtenerse más que por la suma de dos unidades, todos los números enteros pueden ser considerados como suma de otros números: por ejemplo, cinco es 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1; pero también 5 = 1 + 4 y 5 = 2 + 3. El uno y el dos no gozan de esta propiedad general de los números. Es por esto, que, al igual que la unidad, el dos no era para los antiguos pitagóricos un número sino el principio de los números pares. Esta concepción se perdió más tarde, pues Platón habla del dos como "pareja" y Aristóteles como del único primero número par. Tres a su vez no puede ser considerado más que como la suma de uno y de dos; mientras que todos los otros números no son solamente la suma de varias unidades sino también la de dos partes, ambas diferentes de la unidad. Algunos pueden ser considerados como la suma de dos partes iguales entre ellas, como dos es la suma de dos unidades, y, en razón de esta similitud con el dos, (la pareja = ampho), tienen el nombre de los números pares; así por ejemplo: 4 = 2 + 2 y 6 = 3 + 3, etc., son números pares, mientras que los otros, como tres y cinco, no son la suma de dos partes o de dos términos iguales y se llaman números impares. Así pues la tríada 1, 2, 3 goza de propiedades que no tienen los números superiores a 3.

En la serie natural de los números, los pares y los impares se suceden alternativamente. Los números pares tienen en común con el número dos el carácter que acabamos de mencionar y pueden ser representados siempre bajo forma de un rectángulo (épipedos) del cual un lado contiene dos puntos, mientras que los números impares no presentan este carácter, como la unidad, y cuando pueden ser representados bajo una forma rectangular, a veces la base y la altura contienen respectivamente un número de puntos que, a su vez, es un número impar. Nicómaco cita una definición todavía más antigua: salvo la díada fundamental, un número es par cuando se le puede dividir en partes iguales o desiguales, ambas pares o impares, o, como diríamos hoy, que tienen la misma paridad; mientras que los números impares no pueden dividirse más que en dos partes desiguales, de las cuales una es par y la otra impar, así pues en partes que tienen una paridad diferente. Según Heath la distinción entre par e impar se remonta sin duda a Pitágoras, lo que no dudamos en creer. Reidmeister dice que la teoría del par y del impar es pitagórica, y que en esta noción se esconde la ciencia lógico-matemática de los pitagóricos y que es el fundamento de la metafísica pitagórica. Numero impari, dice Virgilio, Deus gaudet ["Dios se complace con el número impar"].

La tradición masónica está de acuerdo sobre el carácter sagrado o divino de los números impares, como lo prueban los números que expresan la edad iniciática, los de las luces, las joyas, los hermanos que componen un taller, etc. Dondequiera que se presenta una distinción, una polaridad, se tiene una analogía con la pareja del par y del impar, y puede establecerse una correspondencia entre los dos polos y el par y el impar; así, para los pitagóricos el masculino era impar y el femenino par, la derecha impar y la izquierda era par...

Los números, empezando por el número tres, admiten además de la representación lineal una representación plana. El número tres es el primero que admite además de la representación lineal una representación plana, gracias a los tres vértices de un triángulo (equilátero). El número tres es un triángulo, o número triangular; es el resultado del acoplamiento de la mónada y de la díada. Se tiene así con la trinidad la manifestación o la epifanía de la mónada en el mundo de la extensión. Aritméticamente: 1 + 2 = 3. Proclo observa que el número dos posee un carácter, en cierta manera, intermediario entre la unidad y el número tres. No solamente porque es la media aritmética de ambos, sino también porque es el único número que da el mismo resultado si se le suma a sí mismo o si se le multiplica por sí mismo, mientras que para la unidad el producto es inferior a la suma, y para el número tres es superior; sea

1 + 1= 2 > 1 . 1;  2 + 2 = 4 = 2 . 2;  3 + 3 = 6 < 3 . 3

En cambio los modernos han observado que 1, 2, 3 son los únicos números enteros positivos cuya suma sea igual al producto. Se puede también fácilmente reconocer que 1, 2, 3 es la única tríada de números enteros consecutivos en la que la suma de los dos primeros es igual al tercero; en efecto la  ecuación:  x + (x + 1) = x + 2 admite como única solución: x = 1. Por otra parte, gracias a la representación geométrica, se ve inmediatamente que la suma de varios números enteros consecutivos sobrepasa siempre el número que sigue al último de los términos sumados, salvo en el caso donde se tiene 1 + 2 = 3. Concluyendo, la tríada, la santa trinidad, no puede obtenerse más que por la suma de la mónada y de la díada.

Obtenido así el número tres, y considerando la mónada como potencialmente triangular, se tiene el segundo número triangular; se puede obtener los otros números triangulares añadiendo a su base el número tres, y se obtiene el número triangular 6; y continuando añadiendo a su base cuatro puntos, se tiene el número 10.

El símbolo pitagórico de la tetraktys, en su forma esquemática de triángulo equilátero, coincide manifiestamente con la forma esquemática del delta masónico, así como con aquella del delta cristiano, símbolo de la Trinidad. Esta última asimilación se hace fácilmente, demasiado fácilmente incluso, sobre todo cuando en el interior está inscrito el ojo del Padre eterno. El carácter cristiano del símbolo masónico no es tan evidente cuando, como sucede a menudo, el centro del triángulo se adorna con el tetragrammaton, el nombre de Dios en cuatro letras, que los cabalistas denominaban por esta palabra griega; y desaparece totalmente cuando el triángulo está inscrito en la estrella de cinco brazos, el pentalfa pitagórico, como en el frontispicio de la Estrella Flamígera del barón de Tschoudy, a quien se le atribuye el ritual de primer grado del Rito Escocés.

Además, el delta sagrado que, con el sol y la luna, es una de las tres luces sublimes de la sociedad de los franc-masones, como lo enseña el ritual del Aprendiz, se encuentra, en los trabajos de primer grado, entre los símbolos del sol y de la luna, detrás del asiento del Venerable; mientras que en los trabajos de segundo grado es reemplazado por la Estrella Flamígera. Los años iniciáticos del Aprendiz y del Compañero corresponden a este cambio. Hay pues conexión entre los dos símbolos; y, como sin duda alguna la estrella de cinco brazos es un símbolo característico tanto de la antigua cofradía pitagórica  como de la franc-masonería, la identificación del delta masónico con la tetraktys pitagórica se halla confirmada.

De esto a decir que la estrella de cinco brazos tiene un carácter cristiano, bastaría con afirmar que fue ésta la que, según el cuarto Evangelio, se apareció a los tres Reyes Magos, Melchor, Gaspar y Baltasar; pero el cuarto Evangelio no se pronuncia sobre este punto; en cuanto a los Evangelios sinópticos, no mencionan siquiera a los tres Reyes Magos. Ahora bien, como los antiguos documentos certifican la continuidad de la tradición masónica que se invoca heredera de Pitágoras, vista la identificación de la masonería con la geometría y la pretensión de los masones de ser los únicos en conocer los números sagrados, nos parece que la identificación del Delta masónico con la tetraktys pitagórica está confirmada por argumentos más sólidos que su identificación con el símbolo cristiano.

No hay ningún símbolo cristiano entre los símbolos masónicos, ni siquiera la cruz; por el contrario, -y es natural- hay símbolos de ofiicio y los símbolos geométricos, arquitectónicos y numéricos. Si el delta masónico tuviera un carácter cristiano, sería un símbolo aislado, desplazado, del que no se comprendería la heterogeneidad y la existencia entre los masones. Insistimos sobre este punto no solamente porque es nuestro deber no dejarnos arrastrar por simpatías o antipatías ante la seriedad y la claridad de las investigaciones críticas, sino porque existe al respecto una incomprensión y una ignorancia seculares y perniciosas, y numerosos rituales, lejos de guiar a los hermanos hacia la plena inteligencia del simbolismo, contribuyen, de muy buena o mala fe, a rechazar esta interpretación, indispensable no obstante para penetrar el sentido puramente masónico.

De cualquier manera, no nos proponemos ni afirmar ni descubrir una oposición entre la tetraktys pitagórica o delta masónico y el símbolo cristiano de la Trinidad. La oposición del ternario cristiano al cuaternario pitagórico fue obra del fanatismo ciego de los cristianos de los primeros siglos; estaba injustificada porque, como lo veremos, los pitagóricos fueron admiradores de la tríada, y su costumbre de contar y de venerar en todas las cosas el número tres los guiaba incluso en la clasificación de los números.

Resumamos: dos no puede obtenerse más que por la suma de dos unidades. Tres no puede obtenerse más que por la suma de términos de los cuales al menos uno es la unidad.

A partir de cuatro, todos los números pueden obtenerse por la suma de dos términos distintos de la unidad. La representación geométrica de los números en el espacio tridimensional tiene un límite y es perfecta con el número cuatro; por lo tanto, como la suma 1 + 2 + 3 + 4 = 10 es igualmente la nueva unidad del sistema de numeración decimal, resulta de esto la perfección del número cuatro y de la década, así como del símbolo de la tetraktys.

Es por esta razón que los pitagóricos no prestaron atención a los números superiores a 10, que se expresaban en el lenguaje y en la escritura por diez y los números precedentes, y es por esto quizás que redujeron a los nueve primeros números los números superiores a diez, no teniendo en cuenta más que su raíz o pythmên, es decir sustituyéndoles el resto de su división por nueve, o el mismo nueve incluso cuando el número era un múltiplo de nueve; resto que obtenían fácilmente por la regla, muy conocida por otra parte, de la división por nueve.

Ya que el desarrollo de los números por adición tiene un límite con el número cuatro, hay que considerar ahora el desarrollo o generación de los números por multiplicación. Que los pitagóricos hayan recurrido efectivamente a este criterio de distinción, es cierto, puesto que el número siete era consagrado y asimilado a Minerva, pues, como Minerva, era virgen y no engendrado, es decir que no era factor de ningún número (en la década) ni el producto de factores. Los números se distinguen pues en números que no son producidos por otros números, sea los números primeros o asintéticos, y en números que son producidos, o números compuestos o sintéticos.

Teniendo en cuenta sólo los números de la década, los números se subdividen en cuatro clases: la clase de los números primeros en la década que son factores de los números de la década; dos (que realmente no es un número) que aparece como factor de 4, de 6, de 8 y de 10; tres que es factor de 6 y de 9; y cinco que es factor de 10. La segunda clase está constituida  por los números primeros inferiores a 10 y que no son factores de los números inferiores a 10; está constituida solamente por el número siete. La tercera clase está constituida por los números compuestos inferiores a 10 y que son factores de los números inferiores a diez; está constituida solamente por el número cuatro, que, al mismo tiempo, es el cuadrado de dos y el factor de ocho. La cuarta clase está constituida por los números inferiores a 10 y que son productos de otros números de la década; está constituida por el seis, el ocho y por el nueve, porque 2 . 3 = 6,  2 . 2 . 2 = 2 . 4 = 8 y  3 . 3  = 9. No teniendo en cuenta el 10 y teniendo en cuenta el dos, tenemos cuatro números primeros: 2, 3, 5, 7 de los cuales uno sólo no produce otros números, y cuatro números compuestos: 4, 6, 8, 9 de los cuales uno sólo es también factor.

Hay que señalar, que este criterio pitagórico de distinción en la clasificación de los números de la década coincide perfectamente con el criterio tradicional de distinción al que se ajusta el Vêdânta para la cuádruple clasificación de los veinticinco principios o tattwas, y con más precisión: el primer principio (Prakriti) que no es producido pero que es productivo, siete principios (Mahat, Ahamkâra y los 5 tanmâtras) que son a la vez producidos y productivos, 16 principios (los 11 indriyas, comprendido Manas y los 5 bhûtas) que son producciones improductivas, y por fin Purusha que no es ni producido ni productivo. A este respecto, volvemos a enviar al lector al libro de René Guénon, El Hombre y su devenir según el Vêdânta (París, 1925). El mismo criterio es el que inspira, como lo ha observado Colebrooke (Essais sur la philosophie des Hindous, traducción Pauthier), la división de la Naturaleza hecha en el tratado De divisione Naturae de Escoto Erígena, quien dice: "La división de la naturaleza me parece que debe estar establecida en cuatro diferentes especies, de las cuales, la primera es lo que crea y no es creado; la segunda es lo que es creado y crea; la tercera es lo que es creado y no crea, y, por fin, la cuarta es lo que no es creado y no crea". Naturalmente no es cuestión de hablar de derivación; de cualquier manera, Pitágoras precede, cronológicamente, no solamente a Escoto Erígena sino también a Shankarâchârya. Así queda establecido el carácter tradicional de la doctrina pitagórica de los números.